Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (2022)

A regra de Cramer é um método desenvolvido para resolver sistemas lineares. Sistema linear é um conjunto de equações que se relacionam. Para encontrar a solução das incógnitas de um sistema linear existem vários métodos, dentre eles a regra de Cramer.

Para encontrar o conjunto de soluções um sistema linear utilizando a regra de Cramer é necessário conhecer o cálculo do determinante de uma matriz, pois reescrevemos o sistema linear como uma matriz dos coeficientes do sistema linear e utilizamos uma relação entre os determinantes para encontrar o valor de cada uma das incógnitas desse sistema linear.

Leia também: Regra de Sarrus — calculando o determinante de matrizes quadradas de ordem 3

Tópicos deste artigo

  • 1 - Resumo sobre regra de Cramer
  • 2 - Videoaula sobre a regra de Cramer
  • 3 - O que é a regra de Cramer?
  • 4 - Regra de Cramer em um sistema 2x2
  • 5 - Regra de Cramer para um sistema 3x3
  • 6 - Exercícios resolvidos sobre regra de Cramer

Resumo sobre regra de Cramer

  • A regra de Cramer é um método para encontrar as soluções de um sistema linear.

  • Dado um sistema de equações, a regra de Cramer propõe que:

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (1)

D, Dx, Dy e Dz são determinantes de matrizes formadas com o sistema.

Videoaula sobre a regra de Cramer

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O que é a regra de Cramer?

A regra de Cramer foi uma estratégia desenvolvida pelo matemático Gabriel Cramer, que tinha como objetivo encontrar um método para facilitar a busca dos valores que são solução de um sistema linear que possuem o mesmo número de equações e incógnitas. Um sistema linear é um conjunto de n equações que estão relacionadas entre si. Vejamos um exemplo algébrico de sistema linear 3x3.

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (2)

A regra de Cramer determina que:

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (3)

D, Dx, Dy e Dz são determinantes de matrizes formadas com o sistema.

  • D → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas;

  • Dx → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes substituindo a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes que estão depois da igualdade;

  • Dy → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes substituindo a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes que estão depois da igualdade;

  • Dz → é o determinante da matriz formada pelos coeficientes substituindo a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes que estão depois da igualdade.

Para aplicar a regra de Cramer, é necessário retirar desse sistema linear quatro matrizes 3x3, das quais calcularemos o determinante.

A primeira delas é a matriz formada por cada um dos coeficientes de x, y e z. Seu determinante é representado por D.

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (4)

Já nas demais matrizes, vamos substituir cada uma das colunas pela coluna dos valores que estão depois da igualdade. Por exemplo, Dx terá na sua primeira coluna, onde ficavam os coeficientes de x, os valores de d1, d2 e d3. Em Dy e Dz, isso acontecerá respectivamente nas 2ª e 3ª colunas:

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (5)

Após calcular os 4 determinantes, é possível obter a razão entre eles, para encontrarmos o valor de cada uma das variáveis.

Observação: Como vamos calcular a razão entre os determinantes, e o denominador sempre será o determinante D, para encontrar os valores para as incógnitas é necessário que D ≠ 0. Caso o determinante D seja igual a 0, significa que ou o sistema é impossível, ou seja, não possui soluções, ou o sistema é possível indeterminando, ou seja, possui infinitas soluções.

Leia também: Teorema de Binet – processo prático para a multiplicação de matrizes

(Video) Regra de Cramer - Brasil Escola

Regra de Cramer em um sistema 2x2

Vejamos, a seguir, a aplicação da regra de Cramer para encontrar as soluções de um sistema linear 2x2.

Exemplo:

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (6)

Resolução:

Como esse sistema é 2x2, encontraremos os valores de: D, Dx e Dy.

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (7)

Calculando o determinante, temos que:

D = 2 · 2 – 4 · 3

D = 4 – 12

D = – 8

Agora, calcularemos Dx:

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (8)

Dx = 7 · 2 – 10 · 3

Dx = 14 – 30

Dx = – 16

Calcularemos também Dy:

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (9)

Dy = 2 · 10 – 7 · 4

Dy = 20 – 28

Dy = – 8

Em seguida, calcularemos os valores de x e de y:

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (10)

Então, os valores de x e y que satisfazem esse sistema de equação são x = 2 e y = 1.

Regra de Cramer para um sistema 3x3

Agora, vejamos um exemplo da aplicação da regra de Cramer para encontrar as soluções de um sistema de equação 3x3.

Exemplo:

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (11)

Resolução:

(Video) 🔴 REGRA DE CRAMER (SISTEMAS 3X3)

Primeiramente, calcularemos o valor de D:

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (12)

D = 1 · 2 · 3 + (– 3) · 1 · 2 + 5 · 1 · (– 1) – [5 · 2 · 2 + 1 · 1 · (– 1) + (– 3) · 1 · 3]

D = 6 – 6 – 5 – [20 – 1 – 9]

D = – 5 – 10

D = – 15

Agora, calcularemos o valor de Dx:

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Dx = 1 · 2 · 3 + (– 3) · 1 · 10 + 5 · 12 · (– 1) – [5 · 2 · 10 + 1 · 1 · (– 1) + (– 3) · 12 · 3]

Dx = 6 – 30 – 60 – [100 – 1 – 108]

Dx = – 84 + 9

Dx = – 75

Calculando Dy:

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Dy = 1 · 12 · 3 + 1 · 1 · 2 + 5 · 1 · 10 – [5 · 12 · 2 + 1 · 1 · 10 + 1 · 1 · 3]

Dy = 36 + 2 + 50 – [120 + 10 + 3]

Dy = 88 – 133

Dy = – 45

Calculando Dz:

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (15)

Dz = 1 · 2 · 10 + (– 3) · 12 · 2 + 1 · 1 · (– 1) – [1 · 2 · 2 + 1 · 12 · (– 1) + (– 3) · 1 · 10

Dz = 20 – 72 – 1 – [4 – 12 – 30]

Dz = – 53 +38

Dz = – 15

Agora podemos encontrar os valores de x, y e z:

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (16)

Leia também: Multiplicação de matrizes — passo a passo de como efetuar

(Video) Exercício resolvido - REGRA DE CRAMER

Exercícios resolvidos sobre regra de Cramer

Questão 1

Uma determinada escola resolveu realizar jogos olímpicos em comemoração ao Dia do Cerrado, com 14 modalidades. Os resultados obtidos foram os seguintes:

Equipe

Ouro

Prata

Bronze

Pontuação

Equipe Pequi

5

5

3

43

Equipe Ipê

5

4

7

44

Equipe Caju

4

5

4

39

Sendo x, y e z as pontuações recebidas para as medalhas de ouro, prata e bronze, respectivamente, então x + y + z será igual a:

A) 8.
B) 9.
C) 10.
D) 11.
E) 12.

Resolução:

Alternativa B

Para encontrar o valor de cada uma das medalhas na pontuação, montaremos o seguinte sistema:

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Aplicando a regra de Cramer, temos que:

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D = 5 ⋅ 4 ⋅ 4 + 5 ⋅ 7 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 ⋅ 5 – [4 ⋅ 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 7 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 ⋅ 5] = − 28

Agora, calcularemos Dx:

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (19)

Dx = 43 ⋅ 4 ⋅ 4 + 5 ⋅ 7 ⋅ 39 + 3 ⋅ 44 ⋅ 5 − [39 ⋅ 4 ⋅ 3 + 5 ⋅ 7 ⋅ 43 + 4 ⋅ 44 ⋅ 53] = − 140

Calculando Dy:

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Dy = 5 ⋅ 44 ⋅ 4 + 43 ⋅ 7 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 ⋅ 39 − [4 ⋅ 44 ⋅ 3 + 39 ⋅ 7 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 ⋅ 43] = − 84

Calculando Dz:

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Dz = 5 ⋅ 4 ⋅ 39 + 5 ⋅ 44 ⋅ 4 + 43 ⋅ 5 ⋅ 5 − [4 ⋅ 4 ⋅ 43 + 5 ⋅ 44 ⋅ 5 + 39 ⋅ 5 ⋅ 5] = − 28

Então, calculando x, y e z, temos que:

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (22)

Por fim, x + y + z = 5 + 3 + 1 = 9.

Questão 2

Em uma visita ao supermercado, Kamila, sem querer, acabou esbarrando em uma prateleira onde havia copos e taças de vidro. Ao todo, 4 copos e 3 taças foram quebrados. Ao chegar ao caixa e informar o ocorrido, ela decidiu pagar pelos produtos danificados, que totalizaram R$ 15,00. Se o acidente não tivesse ocorrido e Kamila comprasse 2 copos e uma taça, o valor pago seria de R$ 6,00. Sabendo disso, o valor de uma taça somado ao de um copo é de:

A) R$ 1,50.
B) R$ 3,00.
C) R$ 4,50.
D) R$ 5,00.
E) R$ 6,50.

(Video) Exercício - Regra de Cramer

Resolução:

Alternativa C

Primeiramente, montaremos o sistema com duas equações.

x→ preço do copo

y → preço da taça

De acordo com o enunciado, temos que:

4x + 3y = 15

2x + y = 6

Aplicando a regra de Cramer:

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (23)

D = 4 · 1 – 2 · 3

D = 4 – 6

D = – 2

Calculando Dx:

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (24)

Dx = 15 · 1 – 3 · 6

Dx = 15 – 18

Dx = – 3

Calculando Dy:

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (25)

Dy = 4 · 6 – 15 · 2

Dy = 24 – 30

Dy= – 6

Dessa forma, temos que:

Regra de Cramer: o que é, cálculo, exercícios - Brasil Escola (26)

Então, o valor de um copo e uma taça é de 1,50 + 3,00 = R$ 4,50.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

(Video) 2 EM 18 05 2021 REGRA DE CRAMER EXERCÍCIOS

FAQs

O que e o método de Cramer? ›

A regra de Cramer diz que: os valores das incógnitas de um sistema linear são dados por frações cujo denominador é o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas após a substituição de cada coluna pela coluna que representa os termos ...

Em que consiste a regra de Cramer explique e cite exemplo? ›

A regra de Cramer é um método desenvolvido para resolver um sistema linear utilizando o determinante das matrizes relacionadas a esse sistema. A regra de Cramer é utilizada na resolução de sistemas lineares. Regra de Cramer é o método utilizado para encontrar as soluções de um sistema linear.

Qual o conjunto de equações lineares formado? ›

Dizemos que o conjunto de equações lineares forma um sistema linear. Sistema linear com duas equações e duas incógnitas. Sistema linear com duas equações e três incógnitas.

O que e o escalonamento de um sistema de equações lineares? ›

Escalonar um sistema linear é modificar suas equações e termos de modo a obter um novo sistema, escalonado, em que ambos são equivalentes, pois possuem as mesmas soluções.

Como resolver regra de Cramer 3x3? ›

🔴 REGRA DE CRAMER (SISTEMAS 3X3) - YouTube

Como calcular o valor do determinante? ›

O determinante é calculado em três passos: primeiro, multiplicamos os valores da diagonal principal; segundo, multiplicamos os valores da diagonal secundária; e, terceiro, subtraímos o produto da diagonal secundária do produto da diagonal principal.

Como resolver um sistema com 4 incógnitas? ›

Sistema de equação linear com 4 variaveis - YouTube

Como calcular o determinante de uma matriz 4 por 4? ›

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ 4X4 POR TEOREMA DE LA PLACE ...

Como calcular o valor da matriz? ›

Multiplicação de matrizes

Para realizar a multiplicação, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda. A matriz produto (que vem da multiplicação) possui ordem dada pela quantidade de linhas da primeira e quantidade de colunas da segunda.

O que é uma equação de 1º grau? ›

Em resumo, equação de 1º grau com uma incógnita é uma expressão algébrica que segue o formato ax + b = 0. Elas podem ser muito úteis para traduzir problemas matemáticos em uma linguagem numérica.

Para que serve um sistema linear? ›

Sistemas Lineares, mais precisamente, Sistemas de Equações Lineares, é ferramenta útil para a resolução de vários problemas práticos e importantes, por exemplo, problemas relacionados a tráfego de veículos, balanceamento de equações químicas, cálculo de uma alimentação diária equilibrada, circuitos elétricos e ...

Como se resolve uma equação? ›

Como resolver uma equação do primeiro grau

Para resolvermos umaa equação do primeiro grau, devemos achar o valor da incógnita (que vamos chamar de x) e, para que isso seja possível, é só isolar o valor do x na igualdade, ou seja, o x deve ficar sozinho em um dos membros da equação.

Como resolver sistema linear com 3 linhas? ›

Rápido e Fácil | Sistemas Lineares 3 x 3 | Escalonamento - YouTube

Como fazer um escalonamento? ›

Procedimentos para escalonar um sistema

Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. Anulamos todos os coeficientes da 2ª incógnita a partir da 3ª equação. Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema se torne escalonado.

Como saber se um sistema tem infinitas soluções? ›

Um sistema de equações lineares tem infinitas soluções quando os gráficos são exatamente a mesma reta.

Quem criou a regra de Cramer? ›

A conhecida regra de Cramer, usada para resolver sistemas de equações a incógnitas por meio de determinantes, é na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), com provável data em 1729, porém só publicada após a sua morte, em 1748, no seu Treatise of Algebra.

Quando o determinante e zero o sistema e? ›

Tipos de determinante de um sistema linear

Portanto, como o determinante é diferente de 0, o sistema é SPD. Vamos calcular o determinante. O determinante é 0, então já sabemos que o sistema não é SPD. No entanto, precisamos calcular pelo menos um determinante secundário para verificar se é SPI ou SI.

Quando o determinante e igual a zero? ›

Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo. Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual à zero.

Para que serve o cálculo de determinantes? ›

7.1 Determinantes. O determinante é um número que está associado com uma matriz quadrada. Para os nossos propósitos neste curso, o determinante é principalmente utilizado para decidir se uma matriz é invertível.

Quais são os tipos de matriz? ›

Os tipos de matrizes incluem as diversas maneiras de representação de seus elementos. São classificadas em: matriz linha, coluna, nula, quadrada, transposta, oposta, identidade, inversa e iguais.

O que significa a palavra determinante? ›

ADJ. Aquilo ou aquele que determina, decide.

Quem criou a regra de Cramer? ›

A conhecida regra de Cramer, usada para resolver sistemas de equações a incógnitas por meio de determinantes, é na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), com provável data em 1729, porém só publicada após a sua morte, em 1748, no seu Treatise of Algebra.

Como resolver um sistema com 4 incógnitas? ›

Sistema de equação linear com 4 variaveis - YouTube

Quando o determinante e igual a zero? ›

Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo. Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual à zero.

Como calcular o valor da matriz? ›

Multiplicação de matrizes

Para realizar a multiplicação, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda. A matriz produto (que vem da multiplicação) possui ordem dada pela quantidade de linhas da primeira e quantidade de colunas da segunda.

Como calcular a matriz 3x3? ›

Identificação do determinante de uma matriz 3x3 - Método 1 - YouTube

Como resolver uma equação com 3 incógnitas? ›

Rápido e Fácil | Sistemas Lineares 3 x 3 | Escalonamento - YouTube

Como calcular o determinante de uma matriz 4 por 4? ›

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ 4X4 POR TEOREMA DE LA PLACE ...

Como calcular o determinante de um sistema linear? ›

1º passo: calcular o determinante da matriz de coeficientes. 2º passo: calcular Dx substituindo os coeficientes da primeira coluna pelos termos independentes. 3º passo: calcular Dy substituindo os coeficientes da segunda coluna pelos termos independentes. 4º passo: calcular o valor das incógnitas pela regra de Cramer.

Como resolver matriz de 4x3? ›

Mt Recordando - A MULTIPLICAÇÃO de matrizes 3x4 e 4x3 - YouTube

Como escalonar um sistema 4x4? ›

Obtendo um sistema escalonado desta forma, obtêm-se as soluções de maneira fácil. Veja no nosso exemplo genérico de um sistema 4x4 que a última linha nos fornece o valor da incógnita x4. Substituindo esse valor na terceira equação, obtém-se o valor da incógnita x3 e assim sucessivamente.

Para que serve o cálculo de determinantes? ›

7.1 Determinantes. O determinante é um número que está associado com uma matriz quadrada. Para os nossos propósitos neste curso, o determinante é principalmente utilizado para decidir se uma matriz é invertível.

Quais são os tipos de matriz? ›

Os tipos de matrizes incluem as diversas maneiras de representação de seus elementos. São classificadas em: matriz linha, coluna, nula, quadrada, transposta, oposta, identidade, inversa e iguais.

O que significa a palavra determinante? ›

ADJ. Aquilo ou aquele que determina, decide.

Como fazer determinante com fração? ›

Determinante de Matriz 3x3 com fração - YouTube

Qual é o valor de Y? ›

Faça o seguinte: Coloque todas as letras antes da igualdade e todos os números depois quando uma letra ou num. é trocado de lugar seu sinal é invertido. Vc calcula e se tiver algum número junto a incógnita vc divide ele pelo seu resultado esse vai ser o valor de X ou y.

Como transformar uma matriz 3x3 em 2x2? ›

MATRIZ INVERSA 3X3 - YouTube

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1. Algebra Linear - Regra de Cramer - Exercicio Resolvido 1
(Dicas e Resoluções)
2. Regra de Cramer e exercícios
(Lucas Patussi)
3. 02_Regra de Cramer - Exercícios
(Matemática com a Tia Elisa)
4. Regra de Cramer - Exercício resolvido - Parte 3
(FOCA NOS ESTUDOS)
5. Lista de Exercícios - Regra de Cramer. | 17. Álgebra Linear.
(Professor Aquino - Matemática)
6. Regra de Cramer para Sistemas de Três Equações Lineares
(Cálculo Geral)

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Author: Stevie Stamm

Last Updated: 10/17/2022

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