Matriz: o que é, tipos, operações, exemplos - Brasil Escola (2022)

A matriz é comumente utilizada para a organização de dados tabulares a fim de facilitar a resolução de problemas. As informações das matrizes, sejam estas numéricas ou não, são dispostas organizadamente em linhas e colunas.

O conjunto das matrizes munido das operações de adição, subtração e multiplicação e de características, como elemento neutro e inverso, forma uma estrutura matemática que possibilita sua aplicação em diversos campos dessa grande área do conhecimento.

Veja também: Relação entre matriz e sistemas lineares

Tópicos deste artigo

  • 1 - Representação de matrizes
  • 2 - Tipos de matrizesMatriz quadradaMatriz identidadeMatriz unitáriaMatriz nula
  • 3 - Matriz opostaMatriz transposta
  • 4 - Operações com matrizesExemploAdição e subtração de matrizesExemploMultiplicação de um número real por matrizMultiplicação de matrizes
  • 5 - Exercícios resolvidos

Representação de matrizes

Antes de começarmos os estudos sobre matrizes, é necessário estabelecer algumas notações quanto às suas representações. As matrizes são sempre representadas por letras maiúsculas (A, B, C…), que são acompanhadas por índices, nos quais o primeiro número indica a quantidade de linhas, e o segundo, o número de colunas.

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A quantidade de linhas (fileiras horizontais) e colunas (fileiras verticais) de uma matriz determina sua ordem. A matriz A possui ordem m por n. As informações contidas em uma matriz são chamadas de elementos e ficam organizadas entre parênteses, colchetes ou duas barras verticais, veja os exemplos:

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A matriz A possui duas linhas e três colunas, logo, sua ordem é dois por três → A2x3.

A matriz B possui uma linha e quatro colunas, logo, sua ordem é um por quatro, por isso recebe o nome de matriz linha → B1x4.

A matriz C possui três linhas e uma coluna, e por isso é chamada de matriz coluna e sua ordem é três por um → C3x1.

Podemos representar genericamente os elementos de uma matriz, isto é, podemos escrever esse elemento utilizando uma representação matemática. O elemento genérico será representado por letras minúsculas (a, b, c…), e, assim como na representação de matrizes, ele também possui índice que indica sua localização. O primeiro número indica a linha em que o elemento está, e o segundo número indica a coluna na qual ele se localiza.

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Considere a seguinte matriz A, faremos a listagem de seus elementos.

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Observando o primeiro elemento que está localizado na primeira linha e primeira coluna, ou seja, na linha um e coluna um, temos o número 4. A fim de facilitar a escrita, vamos denotá-lo por:

a11 → elemento da linha um, coluna um

Assim temos os seguintes elementos da matriz A2x3:

a11 = 4

a12 =16

a13 = 25

a21 = 81

a22 = 100

a23 = 9

De modo geral, podemos escrever uma matriz em função de seus elementos genéricos, essa é a matriz genérica.

(Video) Tipos de Matrizes - Brasil Escola

Uma matriz de m linha e n colunas é representada por:

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  • Exemplo

Determine a matriz A = [aij ]2x2, que possui a seguinte lei de formação aij = j2 – 2i. Dos dados do enunciado, temos que a matriz A é de ordem dois por dois, ou seja, possui duas linhas e duas colunas, logo:

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Além disso, foi dada a lei de formação da matriz, ou seja, a cada elemento satisfaz-se a relação aij = j2 – 2i. Substituindo os valores de i e j na fórmula, temos:

a11 = (1)2 - 2(1) = -1

a12 = (2)2 - 2(1) = 2

a21 = (1)2 - 2(2) = -3

a22 = (2)2 - 2(2) = 0

Portanto, a matriz A é:

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Tipos de matrizes

Algumas matrizes merecem uma atenção especial, veja agora esses tipos de matrizes com exemplos.

  • Matriz quadrada

Uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas. Representamos a matriz que possui n linhas e n colunas por An (lê-se: matriz quadrada de ordem n).

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Nas matrizes quadradas, temos dois elementos muito importantes, as diagonais: principal e secundaria. A diagonal principal é formada por elementos que possuem índices iguais, ou seja, é todo elemento aij com i = j. A diagonal secundária é formada por elementos aij com i + j = n +1, em que n é ordem da matriz.

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  • Matriz identidade

A matriz identidade é uma matriz quadrada que possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os demais elementos iguais a 0, sua lei de formação é:

Matriz: o que é, tipos, operações, exemplos - Brasil Escola (10)

Denotamos essa matriz por I, em que n é a ordem da matriz quadrada, veja alguns exemplos:

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(Video) Multiplicação de Matrizes - Brasil Escola

  • Matriz unitária

É uma matriz quadrada de ordem um, ou seja, possui uma linha e uma coluna e, portanto, apenas um elemento.

A = [-1]1X1, B = I1 = (1)1X1 e C = || 5||1X1

Essas são exemplos de matrizes unitárias, com destaque para matriz B, que é uma matriz de identidade unitária.

  • Matriz nula

Uma matriz é dita nula se todos os seus elementos são iguais a zero. Representamos uma matriz nula de ordem m por n por Omxn.

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A matriz O é nula de ordem 4.

  • Matriz oposta

Considere duas matrizes de ordens iguais: A = [aij]mxn e B = [bij]mxn. Essas matrizes serão chamadas de opostas se, e somente se, aij = -bij. Desse modo, os elementos correspondentes devem ser números opostos.

Podemos representar a matriz B = -A.

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  • Matriz transposta

Duas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]nxm são transpostas se, e somente se, aij = bji , ou seja, dado uma matriz A, para encontrar sua transposta, basta tomar as linhas como colunas.

A transposta da matriz A é denotada por AT. Veja o exemplo:

Matriz: o que é, tipos, operações, exemplos - Brasil Escola (14)

Veja mais: Matriz inversa: o que é e como verificar

Operações com matrizes

Matriz: o que é, tipos, operações, exemplos - Brasil Escola (15)

O conjunto das matrizes possui as operações de adição e multiplicação muito bem definidas, isto é, sempre que operamos duas ou mais matrizes, o resultado da operação ainda pertence ao conjunto das matrizes. No entanto, e a operação de subtração? Essa operação entendemos como sendo a inversa da adição (matriz oposta), que também está muito bem definida.

Antes de definirmos as operações, vamos entender as ideias de elemento correspondente e igualdade de matrizes. Elementos correspondentes são aqueles que ocupam a mesma posição em diferentes matrizes, ou seja, que estão localizados na mesma linha e coluna. Obviamente as matrizes precisam ser de mesma ordem para que existam elementos correspondentes. Veja:

Matriz: o que é, tipos, operações, exemplos - Brasil Escola (16)

Os elementos 14 e -14 são elementos correspondes das matrizes opostas A e B, pois ocupam a mesma posição (mesma linha e coluna).

Duas matrizes vão ser ditas iguais se, e somente se, os elementos correspondentes são iguais. Assim, dadas as matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]mxn, essas vão ser iguais se, e somente se, aij = bij para quaisquer i j.

  • Exemplo

Sabendo que as matrizes A e B são iguais, determine os valores de x e t.

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Como as matrizes A e B são iguais, então os elementos correspondentes devem ser iguais, portanto:

x = -1 e t = 1

  • Adição e subtração de matrizes

As operações de adição e subtração entre matrizes são bastante intuitivas, mas antes é necessário que uma condição seja satisfeita. Para realizar essas operações, antes é necessário verificar se as ordens das matrizes são iguais.

(Video) Dica Imbatível PM BA #16 - Geografia do Brasil - Matriz Energética Brasileira - Pinon

Verificado essa condição, a adição e subtração de matriz dá-se somando ou subtraindo os elementos correspondentes das matrizes. Considere as matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]mxn, então:

A + B = [aij + bij] mxn

A – B = [aij – bij] mxn

  • Exemplo

Considere as matrizes A e B a seguir, determine A + B e A – B.

Matriz: o que é, tipos, operações, exemplos - Brasil Escola (18)

Leia também: Operações com números inteiros

  • Multiplicação de um número real por matriz

A multiplicação de um número real de uma matriz (também conhecida como multiplicação de matriz) por uma escalar é dada multiplicando cada elemento da matriz pela escalar.

Seja A = [aij]mxn uma matriz e t um número real, então:

t · A = [t · aij]mxn

Veja o exemplo:

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  • Multiplicação de matrizes

A multiplicação de matrizes não é tão trivial quanto a adição e subtração delas. Antes de realizar a multiplicação, uma condição deve também ser satisfeita em relação à ordem das matrizes. Considere as matrizes Amxn e Bnxr.

Para realizar a multiplicação, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda. A matriz produto (que vem da multiplicação) possui ordem dada pela quantidade de linhas da primeira e quantidade de colunas da segunda.

Matriz: o que é, tipos, operações, exemplos - Brasil Escola (20)

Para efetuar a multiplicação entre as matrizes A e B, devemos multiplicar cada uma das linhas por todas as colunas da seguinte maneira: o primeiro elemento de A é multiplicado pelo primeiro elemento de B e, em seguida, somado ao segundo elemento de A e multiplicado pelo segundo elemento de B, e assim sucessivamente. Veja o exemplo:

Matriz: o que é, tipos, operações, exemplos - Brasil Escola (21)

Leia também: Teorema de Laplace: saiba como e quando usar

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (U. E. Londrina – PR) Sejam as matrizes A e B, respectivamente, 3 x 4 e p x q, e se a matriz A · B possui ordem 3 x 5, então é verdade que:

a) p = 5 e q = 5

b) p = 4 e q = 5

c) p = 3 e q = 5

d) p = 3 e q = 4

e) p = 3 e q = 3

Solução

(Video) Condição para Multiplicação de Matrizes - Brasil Escola

Temos do enunciado que:

A3X4 · Bpxq = C3x5

Da condição para multiplicar duas matrizes temos que o produto só existe se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda, logo, p = 4. E sabemos também que a matriz produto é dada pela quantidade de linhas da primeira com a quantidade de colunas da segunda, logo, q = 5.

Portanto, p = 4 e q = 5.

R: Alternativa b

Questão 2 – (Vunesp) Determine os valores de x, y e z, na igualdade a seguir, envolvendo matrizes reais 2 x 2.

Matriz: o que é, tipos, operações, exemplos - Brasil Escola (22)

Solução

Vamos realizar as operações entre as matrizes e, em seguida, a igualdade entre elas.

Matriz: o que é, tipos, operações, exemplos - Brasil Escola (23)

Para determinar o valor de x, y e z, resolveremos o sistema linear. Inicialmente vamos somar as equações (1) e (2).

2x – 4= 0

2x = 4

x = 2

Substituindo o valor de x encontrado na equação (3), temos:

22 = 2z

2z = 4

z = 2

E por fim, substituindo os valores de x e z encontrados na equação (1) ou (2), temos:

x + y – z = 0

2 +y – 2 = 0

y =0

Portanto, a solução do problema é dada por S = {(2, 0, 2)}.

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

(Video) MATEMÁTICA - AULAS DE MATRIZES: Definição e Conceitos

FAQs

O que e matriz exemplos? ›

A matriz é uma representação de dados, geralmente numéricos, divididos por linhas e colunas. Uma matriz é representada da forma Amxn. Assim, temos a matriz A, que possui m linhas e n colunas. A matriz M3x2, por exemplo, possui três linhas e duas colunas.

O que e matriz e quais os tipos? ›

Os tipos de matrizes incluem as diversas maneiras de representação de seus elementos. São classificadas em: matriz linha, coluna, nula, quadrada, transposta, oposta, identidade, inversa e iguais.

Quais os tipos de matrizes de um exemplo de cada uma? ›

Matriz quadrada

É uma matriz que possui o mesmo número de linhas e colunas. Nesse tipo de matriz, a quantidade de linhas e colunas é chamada de ordem da matriz. Ex: Matriz de ordem 1 = M1 x 1, Matriz de ordem 2 = M2 x 2, Matriz de ordem 3 = M3 x 3, Matriz de ordem 4 = M4 x 4, …

Qual e a definição de uma matriz? ›

Definição de matriz

Como já dissemos, o primeiro passo é entender que matrizes são estruturas formadas por elementos numéricos. Segundo, que são constituídas por linhas e colunas. Linhas são as informações contidas no sentido horizontal em uma tabela, enquanto colunas são compostas pelos números no sentido vertical.

Como fazer operações com matrizes? ›

Na multiplicação entre matrizes, é muito importante lembrar que o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. Simbolicamente, podemos falar que para multiplicar as matrizes AM×N e BP×Q devemos ter N=P. Assim, a matriz resultante do produto entre A e B será a matriz CM×Q.

O que e matriz resposta? ›

Matriz é uma tabela formada por números reais, dispostos em linhas e colunas. Os números que aparecem na matriz são chamados de elementos.

Como se representa uma matriz? ›

Matriz 02: Representação Genérica de uma Matriz - YouTube

Quais são os elementos de uma matriz? ›

Em uma matriz, os elementos estão dispostos em linhas e colunas. Para representar matrizes, utilizamos a disposição de uma tabela. Chamamos de matriz toda a tabela m x n ( lê-se “m por n”) em que números estão dispostos em linhas (m) e colunas (n).

Qual e a ordem da matriz? ›

Ordem de uma matriz refere-se ao seu número de linhas e colunas. É apresentada na notação m×n, onde m é o número de linhas e n o de colunas. Lê-se "m por n". Assim, a matriz A acima é de ordem 2×3.

Como resolver uma matriz? ›

Aprenda Matriz Rápido I Matrizes - YouTube

O que e matriz PDF? ›

Definição de matriz

Uma matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. em que os índices “i” e “j” indicam, respectivamente, a linha e a coluna à qual pertence o elemento aij.

Como se faz a multiplicação de matrizes? ›

Para ser possível multiplicar matrizes, é primordial que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz C, resultado da multiplicação A . B, tem as dimensões m x p, ou seja, o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda.

Onde a matriz e usada no dia a dia? ›

Porém, nós usamos matriz no nosso cotidiano em diversas atividades como: construção de tabelas com dados de fontes diferentes (exemplo: turma e nota média por matéria) na informática, na construção de cálculos complexos. na engenharia civil, para realizar a distribuição de metragem e de material.

Qual e o sinônimo de matriz? ›

Instituição principal: 1 central, mãe, sede. Aquilo que dá origem a outras coisas: 2 base, causa, estopim, fonte, formador, manancial, motivo, origem, originador, raiz, razão, responsável.

Quais são as propriedades da matriz? ›

Propriedades da adição de matrizes#

Comutativa: A + B = B + A. Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Elemento neutro: A + N = N + A = A. Elemento oposto: A + (-A) = (-A) + A = N.

Como calcular matriz a 1? ›

A-1 = I (A matriz multiplicada por sua inversa resultará na matriz identidade In). Multiplica-se cada elemento da primeira linha da primeira matriz por cada coluna da segunda matriz. Por conseguinte, multiplica-se os elementos da segunda linha da primeira matriz pelas colunas da segunda.

Como calcular a soma de matrizes? ›

Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a11 + b11 = c11. Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B.

Como construir uma matriz 3x3? ›

CONSTRUÇÃO DE UMA MATRIZ 3X3 #01| MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO

Como calcular uma matriz com fração? ›

Determinante de Matriz 3x3 com fração - YouTube

Qual e o determinante de uma matriz? ›

O determinante de uma matriz é um número associado a uma matriz quadrada, aquela que possui o mesmo número de linhas e colunas. O cálculo do determinante de uma matriz qualquer é obtido através dos elementos que constituem essa mesma matriz.

Quando surgiu a matriz? ›

A história das matrizes. Foi só há pouco mais de 150 anos que as matrizes tiveram sua importância detectada e sairam da sombra dos determinantes. O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, 1826 : tableau ( = tabela ). O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850.

Quando se fala em matrizes podemos afirmar que? ›

Quando se fala em matrizes, podemos afirmar que:A matrizes de duas dimensões são inicializadas de forma diferente que os vetores. B cada elemento da matriz deve estar entre parenteses e os elementos internos devem ser separados por ponto.

O que e uma matriz coluna? ›

Tabelas numéricas formadas por linhas e colunas

Matrizes são números reais estruturados em tabelas formadas por linhas horizontais e colunas verticais. Essa configuração facilita a execução de variados cálculos ao mesmo tempo.

Como fazer divisão de matrizes? ›

Não existe definição para divisão de matriz. Em vez disso, multiplique a primeira matriz pelo inverso da segunda. Reescreva o problema [A] ÷ [B] como [A] * [B]-1 ou [B]-1 * [A]. Se a matriz [B] não for quadrada ou se o determinante dela for igual a zero, escreva "não existe uma única solução".

O que e uma matriz de linha? ›

Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4. Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2.

Quando a matriz e quadrada? ›

Matriz quadrada é uma matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas.

Como calcular matrizes de igualdade? ›

Para que duas ou mais matrizes sejam consideradas iguais elas devem obedecer a algumas regras: Devem ter a mesma ordem, ou seja, o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Os elementos devem ser iguais aos seus correspondentes.

Que tipo de matriz e chamada de matriz quadrada? ›

A matriz quadrada é aquela que possui o mesmo número de linhas e colunas. A matriz quadrada é um tipo especial de matriz. Uma matriz é classificada como quadrada quando possui o número de linhas igual ao número de colunas. A matriz quadrada possui aplicações importantes, como na resolução de sistemas lineares.

O que e uma equação matricial? ›

As equações matriciais são aquelas cuja incógnita é uma matriz. Confira diferentes exemplos com o passo a passo de como resolver esse tipo de equação. Veja soma, multiplicação, e divisão de matrizes no resumo Enem de matemática.

Como calcular uma matriz de ordem 3? ›

Uma matriz de ordem 3 é aquela que possui três linhas e três colunas, ou seja, nove elementos. Para calcular o determinante, temos que utilizar uma técnica especial, conhecida como Regra de Sarrus. 1- Pegamos as duas primeiras colunas da matriz e repetimos ao lado da terceira.

Como calcular o determinante de uma matriz 4 por 4? ›

DETERMINANTE DE UMA MATRIZ 4X4 POR TEOREMA DE LA PLACE ...

Quando a matriz e singular? ›

Uma matriz é singular se o seu determinante é nulo.

O que e uma matriz retangular? ›

Matrizes retangulares são a forma de representar dados para aprendizado de maquina. Cada linha representa um dado e cada coluna os atributos/coordenadas/features desse dado. Um vetor dentro da matrix é uma linha (um ponto no espaço c dimensional onde c é o número de colunas.

Qual e o produto da matriz? ›

O produto de duas matrizes será definido se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Se o produto for definido, a matriz resultante terá o mesmo número de linhas da primeira matriz e o mesmo número de colunas da segunda matriz.

Como construir uma matriz 3x4? ›

Mt Recordando - A MULTIPLICAÇÃO de matrizes 3x4 e 4x3 - YouTube

Como fazer soma de matrizes 2x2? ›

COMO SOMAR E SUBTRAIR MATRIZES #matriz #matematica

Onde a matriz e usada no dia a dia? ›

Porém, nós usamos matriz no nosso cotidiano em diversas atividades como: construção de tabelas com dados de fontes diferentes (exemplo: turma e nota média por matéria) na informática, na construção de cálculos complexos. na engenharia civil, para realizar a distribuição de metragem e de material.

Onde a matriz e utilizada? ›

Aplicação. As aplicações das matrizes são encontradas em todos os campos científicos. Em física, são usadas em ramos como mecânica clássica, ótica, eletromagnetismo, mecânica quântica e eletrodinâmica quântica, além de serem essenciais na descrição do movimento de corpos rígidos.

Como se representa uma matriz? ›

Matriz 02: Representação Genérica de uma Matriz - YouTube

Qual e o sinônimo de matriz? ›

Instituição principal: 1 central, mãe, sede. Aquilo que dá origem a outras coisas: 2 base, causa, estopim, fonte, formador, manancial, motivo, origem, originador, raiz, razão, responsável.

Qual a importância das matrizes? ›

As matrizes auxiliam como grande ferramenta na interpretação de gráficos que também podem ser originados de tabelas que usamos as matrizes. Junto com a economia temos as organizações comerciais que fazem uso da tabela, ou seja, trabalham com matrizes.

Quem criou a matriz? ›

O pai do nome matriz

O primeiro a lhes dar um nome parece ter sido Cauchy, 1826 : tableau ( = tabela ). O nome matriz só veio com James Joseph Sylvester, 1850. Seu amigo Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade.

Como calcular matriz a 1? ›

A-1 = I (A matriz multiplicada por sua inversa resultará na matriz identidade In). Multiplica-se cada elemento da primeira linha da primeira matriz por cada coluna da segunda matriz. Por conseguinte, multiplica-se os elementos da segunda linha da primeira matriz pelas colunas da segunda.

Como e formada uma matriz? ›

Matriz é uma tabela organizada em linhas e colunas no formato m x n, onde m representa o número de linhas (horizontal) e n o número de colunas (vertical). A função das matrizes é relacionar dados numéricos.

Quais são os elementos principais de uma matriz? ›

Quando falamos da ordem ou dos elementos de uma matriz, sempre nos referimos primeiro à linha e depois à coluna. Assim: U4×6 tem 4 linhas e 6 colunas. u42 é o elemento que está na linha 4 e na coluna 2.
...
Por exemplo, quanto aos elementos de A, temos:
  • a11=5.
  • a12=6.
  • a13=7.
  • a14=8.
  • a21=4.
  • a22=3.
  • a23=2.
  • a24=1.

Qual e a ordem da matriz? ›

Ordem de uma matriz refere-se ao seu número de linhas e colunas. É apresentada na notação m×n, onde m é o número de linhas e n o de colunas. Lê-se "m por n". Assim, a matriz A acima é de ordem 2×3.

Como calcular a matriz 3x3? ›

Identificação do determinante de uma matriz 3x3 - Método 1 - YouTube

Como se faz a multiplicação de matrizes? ›

Para ser possível multiplicar matrizes, é primordial que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz C, resultado da multiplicação A . B, tem as dimensões m x p, ou seja, o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda.

Como calcular a soma de matrizes? ›

Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a11 + b11 = c11. Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B.

Como escrever quanto? ›

Quando usar em quanto? Em quanto é uma sequência formada pela preposição em e pelo pronome quanto, que pode ser indefinido, relativo ou interrogativo. Esta sequência é usada para obter informação sobre a quantidade, o preço e a intensidade de algo.

Qual é a principal matriz energética brasileira? ›

Além da hidrelétrica, a matriz energética do Brasil também é dividida em: gás natural (9,3%), eólica (8,6%), biomassa (8,4%), carvão e derivados (3,3%), nuclear (2,5%), derivados do petróleo (2,0%), solar (1,0%).

Qual o sinônimo de matizes? ›

13 sinônimos de matizes para 1 sentido da palavra matizes: Gradações de cor: 1 nuances, gradações, tonalidades, nuanças, dégradés, entretons, degradações, tons, meios-tons, cambiantes, modulações, variantes, ancenúbios.

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Author: Kimberely Baumbach CPA

Last Updated: 09/28/2022

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